{"id":144,"date":"2014-03-29T23:11:47","date_gmt":"2014-03-29T23:11:47","guid":{"rendered":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/?p=144"},"modified":"2014-03-29T23:13:49","modified_gmt":"2014-03-29T23:13:49","slug":"jogo-senha-no-contexto-da-analise-combinatoria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/?p=144","title":{"rendered":"JOGO SENHA NO CONTEXTO DA AN\u00c1LISE COMBINAT\u00d3RIA"},"content":{"rendered":"

Este Trabalho foi realizado pela pibidiana J\u00e9ssica Zerbinato, com intuito de promover \u00a0uma intera\u00e7\u00e3o melhor entre os alunos, onde possam estar trabalhando suas dificuldades no conte\u00fado de an\u00e1lise combinat\u00f3ria. O jogo senha, originalmente foi criado em 1970, era composto por 6 cores distintas para se formar uma senha com 4 cores. Por\u00e9m para uma melhor adapta\u00e7\u00e3o ao inv\u00e9s de utilizarmos cores, utilizamos os n\u00fameros de 1 a 6, facilitar a intera\u00e7\u00e3o dos alunos com a matem\u00e1tica e os n\u00fameros, visto que muitos j\u00e1 utilizam frequentemente redes sociais que necessitam de senhas \u00e0s vezes complexas ou simples delimitadas por certa quantidade de casas. O jogo deve ser disposto em duplas, onde um dos participantes criar\u00e1 sua senha utilizando os n\u00fameros de 1 a 6 sem poder repeti-los. O outro participante vai fazer “chutes” colocando os n\u00fameros em uma ordem qualquer a fim de acertar a senha montada pelo advers\u00e1rio. Para cada chute o outro participante responde fazendo riscos pretos para n\u00fameros que est\u00e3o certos nas posi\u00e7\u00f5es certas e riscos vermelhos para n\u00fameros que est\u00e3o certos, por\u00e9m na posi\u00e7\u00e3o errada sem assim dizer qual \u00e9 esse n\u00famero. O desafiado a descobrir a senha deve utilizar do racioc\u00ednio l\u00f3gico para descobri-la em menos tentativas.<\/p>\n

A primeira pergunta feita para os alunos foi: quantas maneiras diferentes existem para se formar uma senha? Os alunos logo identificaram que deveriam fazer um arranjo j\u00e1 que a ordem dos n\u00fameros determinava uma nova senha. Ent\u00e3o eles realizaram o seguinte c\u00e1lculo: A6,4 =n!\/(n-p)! = 6!\/2! = (6.5.4.3.2!)\/2! = 360<\/p>\n

Depois, com orienta\u00e7\u00f5es, eles fizeram a an\u00e1lise dos risquinhos que identificavam os n\u00fameros certos nos lugares certos e certos nos lugares errados. Descrevendo agora com as contas da an\u00e1lise combinat\u00f3ria o racioc\u00ednio que eles tiveram para descobrirem qual era a senha. Como s\u00e3o 6 n\u00fameros e o chute deve ser de 4 n\u00fameros, sempre ser\u00e3o colocados pelo menos 2 risquinhos. Segue abaixo todas os poss\u00edveis c\u00e1lculos que os alunos poderiam ter abordado conforme o jogo deles.<\/p>\n

a)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Se n\u00e3o houver risco vermelho e houverem 3 riscos pretos<\/p>\n

O jogador sabe que 3 de seus n\u00fameros est\u00e3o corretos em posi\u00e7\u00f5es certas. Assim, ele deve escolher 3, dentre as quatro n\u00fameros que ele colocou anteriormente, e \ufb01x\u00e1-la na mesma posi\u00e7\u00e3o, o que pode ser feito de \u00a0maneiras. A outra cor, ent\u00e3o, deve ser substitu\u00edda por uma das duas que ele n\u00e3o tinha colocado. Portanto, pelo Princ\u00edpio Multiplicativo de Contagem(PMC) , ele pode dar seu segundo chute de C4,3 x 2= 4 x 2 = 8 maneiras.<\/p>\n

b)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 Nenhum risco vermelho e 2 riscos pretos<\/p>\n

Repetindo o pensamento anterior, o jogador, primeiramente, deve escolher dois dos quatro n\u00fameros, que ele escolheu antes, e \ufb01x\u00e1-los nas mesmas posi\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o ele tem \u00a0maneiras de faz\u00ea-lo. Depois ele deve empunhar as dois n\u00fameros que ele n\u00e3o tinha escolhido e coloc\u00e1-los nos dois espa\u00e7os vazios, o que pode ser feito de 2 maneiras. Portanto, pelo PMC C4,2 x 2 = 6 x 2 = 12 \u00e9 o n\u00famero de senhas que poder\u00e1 fazer no seu novo chute.<\/p>\n

c)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1vermelho e 2 pretos<\/p>\n

Primeiramente, o jogador deve escolher 2 n\u00fameros e \ufb01x\u00e1-los nas mesmas posi\u00e7\u00f5es, isso pode ser feito de \u00a0maneiras. Depois, ele deve selecionar um dos 2 restantes e mud\u00e1-lo de posi\u00e7\u00e3o (ele tem duas maneiras de fazer isso). Por \u00faltimo, ele deve completar seu chute com um dos n\u00fameros que ele n\u00e3o tinha usado no chute anterior, o que pode ser feito de 2 maneiras. Logo, pelo PMC, ele tem C4,2 x 2 x 2 = 6 x 2 x 2 = 24 formas de fazer seu chute seguinte.<\/p>\n

d)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1 vermelho e\u00a0 1 preto<\/p>\n

Inicialmente, o jogador deve \ufb01xar um dos n\u00fameros na posi\u00e7\u00e3o inicial, para isso, ele disp\u00f5e de \u00a0possibilidades. Agora, ele deve selecionar um dos tr\u00eas n\u00fameros restantes, o que pode ser feito de \u00a0maneiras, e mud\u00e1-lo de lugar, o que pode ser feito de 2 maneiras. Por \ufb01m, ele deve colocar os 2 n\u00fameros, que ele n\u00e3o tinha escolhido, nos lugares restantes, o que pode ser feito de 2 maneiras. Portanto, pelo PMC, ele pode fazer seu novo chute de C4,1 xC3,1 x 2 x 2 = 4 x 3 x 2 x 2 = 48 maneiras.<\/p>\n

e)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2 vermelhos e 2 pretos<\/p>\n

O jogador deve \ufb01xar duas cores que ele escolheu em suas posi\u00e7\u00f5es, ele tem \u00a0maneiras de faz\u00ea-lo. Depois ele deve apenas trocar as posi\u00e7\u00f5es das outras duas cores, ele pode fazer isso de apenas uma maneira. Ent\u00e3o, pelo PMC, ele tem \u00a0C4,2x 1 = 6 x 1 = 6 maneiras de fazer seu pr\u00f3ximo chute.<\/p>\n

f)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 4 vermelhos<\/p>\n

Nesse caso, o jogador deve apenas tirar os n\u00fameros de suas posi\u00e7\u00f5es iniciais, o que envolveria o c\u00e1lculo das permuta\u00e7\u00f5es ca\u00f3ticas. O n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es de 4 elementos \u00e9 4x3x2x1=24 fixando um n\u00famero na sua posi\u00e7\u00e3o inicial temos a permuta\u00e7\u00e3o de 3 elementos 3x2x1=6 isso \u00e9 feito 4 vezes 6×4=24, por\u00e9m uma mesma seq\u00fc\u00eancia repete 3 vezes nas 4 op\u00e7\u00f5es de fixarmos um n\u00famero temos ent\u00e3o 3.4=12, a senha original repete-se 4 vezes e s\u00f3 podemos cont\u00e1-la uma vez est\u00e3o temos que diminuir 3, portanto temos 24-12-3= 9.<\/p>\n

g)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3 vermelhos e 1 preto<\/p>\n

De in\u00edcio, o jogador deve \ufb01xar um dos n\u00fameros, o que pode ser feito de \u00a0maneiras. Depois ele deve apenas trocar a posi\u00e7\u00e3o dos restantes, de modo que elas n\u00e3o \ufb01quem na mesma posi\u00e7\u00e3o que s\u00e3o 2. Logo, pelo PMC, o jogador tem C4,1 x 2 = 8 maneiras de fazer seu segundo chute.<\/p>\n

h)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2 vermelhos<\/p>\n

Primeiro, o jogador tem de selecionar 2 n\u00fameros das que ele tinha escolhido, o que pode ser feito de \u00a0maneiras. Depois ele deve empunhar os 2 que ele n\u00e3o tinha utilizado e distribuir os 4 n\u00fameros que ele tem em m\u00e3os de forma que os 2 primeiros n\u00e3o \ufb01quem nas mesmas posi\u00e7\u00f5es, o que pode ser feito utilizando o conceito permuta\u00e7\u00f5es ca\u00f3ticas temos de C2,0xD4 +C2,1xD3 +C2,2xD2 = 14. Portanto, pelo PMC, o jogador tem C4,2×14 = 6×14 = 84 maneiras de fazer seu novo chute.<\/p>\n

i)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 3 vermelhos<\/p>\n

O jogador deve, inicialmente, selecionar 3 n\u00fameros dos que ele tinha colocado, o que pode ser feito de \u00a0maneiras. Depois deve selecionar um dos dois que ele n\u00e3o tinha escolhido e, por \ufb01m, fazer uma permuta\u00e7\u00e3o ca\u00f3tica de 3 objetos em 4 vagas, que \u00e9 C1,0.D4 +C1,1.D3 = 1.9+ 1.2 = 11.<\/p>\n

Portanto, pelo PMC, ele pode fazer sua nova senha de C4,3x2x11 = 4.22 = 88 maneiras.<\/p>\n

\"t\"<\/a><\/p>\n

j)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 2 vermelho e 1 preto<\/p>\n

Primeiramente, o jogador deve escolher um n\u00famero e \ufb01x\u00e1-lo na mesma posi\u00e7\u00e3o, ele pode fazer isto de \u00a0maneiras. Depois ele deve selecionar outros 2 n\u00fameros dentre as tr\u00eas que sobraram, o que pode ser feito de \u00a0maneiras, e depois selecionar um dos 2 n\u00fameros que ele n\u00e3o tinha escolhido. Feito isso, ele deve fazer uma permuta\u00e7\u00e3o ca\u00f3tica das duas primeiras cores em tr\u00eas vagas, o que pode ser feito de C1,0. D3 + C1,1.D2 = 1.2 + 1×1 = 3. Portanto, pelo PMC, ele pode dar seu novo chute de C4,1xC3,2x2x 3 = 4x 3x 2×3 = 72 maneiras.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Este Trabalho foi realizado pela pibidiana J\u00e9ssica Zerbinato, com intuito de promover \u00a0uma intera\u00e7\u00e3o melhor entre os alunos, onde possam estar trabalhando suas dificuldades no conte\u00fado de an\u00e1lise combinat\u00f3ria. O jogo senha, originalmente foi criado em 1970, era composto por 6 cores distintas para se formar uma senha com 4 cores. Por\u00e9m para uma melhor […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[],"class_list":["post-144","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-materais-didaticos"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/144","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=144"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/144\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":147,"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/144\/revisions\/147"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=144"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=144"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/matematica.cachoeiro.ifes.edu.br\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=144"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}