Este Trabalho foi realizado pela pibidiana Jéssica Zerbinato, com intuito de promover  uma interação melhor entre os alunos, onde possam estar trabalhando suas dificuldades no conteúdo de análise combinatória. O jogo senha, originalmente foi criado em 1970, era composto por 6 cores distintas para se formar uma senha com 4 cores. Porém para uma melhor adaptação ao invés de utilizarmos cores, utilizamos os números de 1 a 6, facilitar a interação dos alunos com a matemática e os números, visto que muitos já utilizam frequentemente redes sociais que necessitam de senhas às vezes complexas ou simples delimitadas por certa quantidade de casas. O jogo deve ser disposto em duplas, onde um dos participantes criará sua senha utilizando os números de 1 a 6 sem poder repeti-los. O outro participante vai fazer “chutes” colocando os números em uma ordem qualquer a fim de acertar a senha montada pelo adversário. Para cada chute o outro participante responde fazendo riscos pretos para números que estão certos nas posições certas e riscos vermelhos para números que estão certos, porém na posição errada sem assim dizer qual é esse número. O desafiado a descobrir a senha deve utilizar do raciocínio lógico para descobri-la em menos tentativas.

A primeira pergunta feita para os alunos foi: quantas maneiras diferentes existem para se formar uma senha? Os alunos logo identificaram que deveriam fazer um arranjo já que a ordem dos números determinava uma nova senha. Então eles realizaram o seguinte cálculo: A6,4 =n!/(n-p)! = 6!/2! = (6.5.4.3.2!)/2! = 360

Depois, com orientações, eles fizeram a análise dos risquinhos que identificavam os números certos nos lugares certos e certos nos lugares errados. Descrevendo agora com as contas da análise combinatória o raciocínio que eles tiveram para descobrirem qual era a senha. Como são 6 números e o chute deve ser de 4 números, sempre serão colocados pelo menos 2 risquinhos. Segue abaixo todas os possíveis cálculos que os alunos poderiam ter abordado conforme o jogo deles.

a)      Se não houver risco vermelho e houverem 3 riscos pretos

O jogador sabe que 3 de seus números estão corretos em posições certas. Assim, ele deve escolher 3, dentre as quatro números que ele colocou anteriormente, e fixá-la na mesma posição, o que pode ser feito de  maneiras. A outra cor, então, deve ser substituída por uma das duas que ele não tinha colocado. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo de Contagem(PMC) , ele pode dar seu segundo chute de C4,3 x 2= 4 x 2 = 8 maneiras.

b)      Nenhum risco vermelho e 2 riscos pretos

Repetindo o pensamento anterior, o jogador, primeiramente, deve escolher dois dos quatro números, que ele escolheu antes, e fixá-los nas mesmas posições, então ele tem  maneiras de fazê-lo. Depois ele deve empunhar as dois números que ele não tinha escolhido e colocá-los nos dois espaços vazios, o que pode ser feito de 2 maneiras. Portanto, pelo PMC C4,2 x 2 = 6 x 2 = 12 é o número de senhas que poderá fazer no seu novo chute.

c)      1vermelho e 2 pretos

Primeiramente, o jogador deve escolher 2 números e fixá-los nas mesmas posições, isso pode ser feito de  maneiras. Depois, ele deve selecionar um dos 2 restantes e mudá-lo de posição (ele tem duas maneiras de fazer isso). Por último, ele deve completar seu chute com um dos números que ele não tinha usado no chute anterior, o que pode ser feito de 2 maneiras. Logo, pelo PMC, ele tem C4,2 x 2 x 2 = 6 x 2 x 2 = 24 formas de fazer seu chute seguinte.

d)     1 vermelho e  1 preto

Inicialmente, o jogador deve fixar um dos números na posição inicial, para isso, ele dispõe de  possibilidades. Agora, ele deve selecionar um dos três números restantes, o que pode ser feito de  maneiras, e mudá-lo de lugar, o que pode ser feito de 2 maneiras. Por fim, ele deve colocar os 2 números, que ele não tinha escolhido, nos lugares restantes, o que pode ser feito de 2 maneiras. Portanto, pelo PMC, ele pode fazer seu novo chute de C4,1 xC3,1 x 2 x 2 = 4 x 3 x 2 x 2 = 48 maneiras.

e)      2 vermelhos e 2 pretos

O jogador deve fixar duas cores que ele escolheu em suas posições, ele tem  maneiras de fazê-lo. Depois ele deve apenas trocar as posições das outras duas cores, ele pode fazer isso de apenas uma maneira. Então, pelo PMC, ele tem  C4,2x 1 = 6 x 1 = 6 maneiras de fazer seu próximo chute.

f)       4 vermelhos

Nesse caso, o jogador deve apenas tirar os números de suas posições iniciais, o que envolveria o cálculo das permutações caóticas. O número de permutações de 4 elementos é 4x3x2x1=24 fixando um número na sua posição inicial temos a permutação de 3 elementos 3x2x1=6 isso é feito 4 vezes 6×4=24, porém uma mesma seqüência repete 3 vezes nas 4 opções de fixarmos um número temos então 3.4=12, a senha original repete-se 4 vezes e só podemos contá-la uma vez estão temos que diminuir 3, portanto temos 24-12-3= 9.

g)      3 vermelhos e 1 preto

De início, o jogador deve fixar um dos números, o que pode ser feito de  maneiras. Depois ele deve apenas trocar a posição dos restantes, de modo que elas não fiquem na mesma posição que são 2. Logo, pelo PMC, o jogador tem C4,1 x 2 = 8 maneiras de fazer seu segundo chute.

h)      2 vermelhos

Primeiro, o jogador tem de selecionar 2 números das que ele tinha escolhido, o que pode ser feito de  maneiras. Depois ele deve empunhar os 2 que ele não tinha utilizado e distribuir os 4 números que ele tem em mãos de forma que os 2 primeiros não fiquem nas mesmas posições, o que pode ser feito utilizando o conceito permutações caóticas temos de C2,0xD4 +C2,1xD3 +C2,2xD2 = 14. Portanto, pelo PMC, o jogador tem C4,2×14 = 6×14 = 84 maneiras de fazer seu novo chute.

i)        3 vermelhos

O jogador deve, inicialmente, selecionar 3 números dos que ele tinha colocado, o que pode ser feito de  maneiras. Depois deve selecionar um dos dois que ele não tinha escolhido e, por fim, fazer uma permutação caótica de 3 objetos em 4 vagas, que é C1,0.D4 +C1,1.D3 = 1.9+ 1.2 = 11.

Portanto, pelo PMC, ele pode fazer sua nova senha de C4,3x2x11 = 4.22 = 88 maneiras.

j)        2 vermelho e 1 preto

Primeiramente, o jogador deve escolher um número e fixá-lo na mesma posição, ele pode fazer isto de  maneiras. Depois ele deve selecionar outros 2 números dentre as três que sobraram, o que pode ser feito de  maneiras, e depois selecionar um dos 2 números que ele não tinha escolhido. Feito isso, ele deve fazer uma permutação caótica das duas primeiras cores em três vagas, o que pode ser feito de C1,0. D3 + C1,1.D2 = 1.2 + 1×1 = 3. Portanto, pelo PMC, ele pode dar seu novo chute de C4,1xC3,2x2x 3 = 4x 3x 2×3 = 72 maneiras.